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このブログについて

このブログは、京大をめざす受験生の方が数学の考え方を身につけられるような記事を掲載します。

解答に不備等有りましたら早急に直しますのでコメントをお願いします。

不備がなくてもコメントが有ると喜びます。
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解の配置 その1

今回は2005年京大理系1番の問題から。
標準問題ですから、落とさないように。

問題 (画像をクリックすると別ウィンドウで大きく表示します。解答も同様)
4_02_1.jpg

解答
4_02_2.jpg

4_02_3.jpg

解説
Lを式で表すことから初めます。
問題の条件を解の配置の問題に帰着させるのは誰でもできるでしょう。

問題のように「少なくとも1つの解が範囲にある」という条件の時は、
解答の場合分けが一番簡潔でわかりやすいと思います。
ii)のように、(イ)、(ウ)をまとめて書けることも覚えておくと答案が簡潔に書けます。
ほかにも軸の位置で場合分けをすることもできますが、少し複雑になります。

解答の図で十分だとは思いますが、時間が余った時などは、
a+b-1=0とb=(a-2)^2/4が接することなどを簡単に示しておくとより良いでしょう。

次回はこれの別解を示します。

最大・最小その1

今月は方程式・関数について学んでいきたいと思います。
まずは2012年の京大の過去問から。といっても難しくありません。

問題 (画像をクリックすると別ウィンドウで大きく表示します。解答も同様)
4_01_1.jpg

解答
4_01_2.jpg

解説
まさか1文字消去しようとした人はいませんよね。
与式も条件式も見るとすぐに対称式だと分かりますから、
2文字の基本対称式であるx+y, xy であらわせることがわかります。
両方の式をx+y, xyで表してみると、扱いやすい形になりますから、この方針で大丈夫そうだとわかります。

唯一注意するところは、『x,yの実数条件を忘れない』ということです。
この置き換えをする問題でよく忘れがちですが、判別式が正であることを条件に加えなければなりません。
例えば、s=x+y, t=xyとしたとき, s=1,y=10となるようなx,yは実数になりません。
つまり, s,tは自由には動けないのです。
この問題に限らず、変数の置き換えをしたときは、「この変数は自由に動けるのか?」と考えることが大切です。

ここさえできてしまえば後は増減表を書くだけでしょう。
計算量もそんなに多くありません。

このように、実際の入試でも簡単な問題が出されることもありますので、
こういった基本的な問題は落とさないようにしましょう。

整数問題9. ガウス記号

これまで長くやってきた整数問題ですが、3月も終わりですのでこの問題で締めくくりたいと思います。
京大の1998年の問題です。

問題 (画像をクリックすると別ウィンドウで大きく表示します。解答も同様)
10_1.jpg


解答
10_2_1.jpg

10_2_2.jpg

解説
まずは、放物線の方程式を求めないと話になりません。
効率よく求めるために、x軸上の2点を通ることから、2次の係数のみを変数にし、
それを(a,m)を通ることから求めます。
ここまでは問題ないでしょう。

さて、格子点の個数は、ガウス記号を使うことでうまく表せます。
必要ないとは思いますが、一応解説すると[x]でxの整数部分を表します。

放物線の式をf(x)とすると, x=k上では[f(k)]+1 個となるのに注意してください。
+1するのを忘れた人は、変数にわかりやすい値を2,3個代入するくせをつけてください。
この場合, 例えばx=0,2aで1個, x=aで0,1,2,...,mの(m+1)個となりますからね。

あとは、ガウス記号が出てきたとき、つねに
x-1<[x]≦x という関係を使うことを意識してください。
これを変形すると、[x]≦x<[x]+1ともなりますが、こちらも使用する可能性があります。
この問題では、前者の式で大小ではさみ、極限をとってはさみうちを使いました。
ガウス記号の極限が出てきたら、直接は求まらないので、はさみうちの原理を使うんだな、と思ってください。


さて、これまで整数問題を長く扱って来ましたが、もちろんこれですべて解けるようにはなりません。
整数問題は経験により大きく左右される分野です。問題演習を積むとよいでしょう。
そのためには東京出版の「マスターオブ整数」がオススメです。
(このブログにもそこから引用した問題があります。)


次回からは方程式、関数についての問題について解説する予定です。

合同式について まとめ

剰余に関する整数問題において、合同式という記法がよく使われます。
剰余に関して簡潔に答案を作成できるのでとても便利な記法ですが、注意する点もあります。

今回は合同式とは何か、というところからその注意点、活用法についてまとめました。

その1
09_1.jpg
その2
09_2.jpg
その3
09_3.jpg


とにかく、除法以外は余りだけに着目して等式のように扱っても良いこと、
除法は法と互いに素な整数で割る場合のみ成り立つことがわかれば十分です。

答案に使う場合は、最初の1文をかいておけば使用しても良いと思われます。
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